PBR读书笔记一：Geometry & Transformation

这会是一个持续更新的系列，用来记录我在阅读《Physically Based Rendering》的一些读书心得和brief。

四元数 Quaternions

之前玩Unity的时候就有过使用四元数的经历，当时还不太明白万向锁和四元数的本质，看了这一章之后遍会有更加深入的体会。

四元数发明的初衷是对于复数的拓展，\(q=(x,y,z,w)=w+x\vec i+y\vec j+z\vec k\)，ijk四个量的乘法运算是非交换的。与此同时，\(q=(q_{xyz}, w)\)，因此对两个四元数做点乘，两个分量：

\[(q\cdot q')_{xyz} = q_{xyz}\times q'_{xyz} + q_wq'_{xyz} + q'_wq_{xyz}\]

\[(q\cdot q')_{w} = q_w\cdot q'_w - (q_{xyz}\cdot q'_{xyz})\]

定义单位四元数\(x^2+y^2+z^2+w^2=1\)，同时很重要的，在三维空间中，点\(p\)绕着一个单位轴\(\vec v\)进行\(2\theta\)的旋转，可以通过四元数\(q = (\vec v\sin\theta, \cos\theta)\)实现：

\[p' = qpq^{-1}\]

其中对于四元数\(q=(\vec v, w)\)，求其共轭四元数：\(Q^*=(-\vec v, w)\)，而对应的其逆\(q^{-1}=\frac{Q^*}{|q|}\)

接下来还有四元数插值的部分，但是主要目的不在这里，就先略过了（animation相关）。

看了一圈，这一章比较陌生的知识差不多结束了。